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La pensée sauvage éditions
RDM - Recherches en Didactique des Mathématiques

Résumés - RDM Vol.33/3
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Gunhan Caglayan, John Olive, Andrew Izsák

How middle school students understand polynomial sums and products using algebra tiles model in a « cours dialogué »


Résumé

Quelle compréhension des expressions polynomiales additives et multiplicatives chez des élèves dans un cours dialogue reposant sur l’usage de « tuiles algébriques » ?

Cette étude examine la compréhension et le sens donné à des expressions polynomiales additives et multiplicatives par des élèves de 8ème grade utilisant des « tuiles algebriques ». Nous utilisons le cadre cognitif des invariants opérationnels (Vergnaud 1996). Nos données se composent des leçons enregistrées en vidéo et d’une interview de l’enseignant. Notre analyse indique que des erreurs d’interprétation du modèle des tuiles créaient des obstacles, lors de tâches de production de produits de polynômes. Dans des tâches de représentation de sommes et de produits de polynômes avec les tuiles d’algèbre, nous avons repéré des concepts-en-action chez la plupart des élèves. En revanche, la construction de théorèmes-en-action viables a exigé des connexions entre les représentations par des tuiles d’algèbre et les expressions algébriques. Les élèves qui ont réussi à produire des théorèmes-en-action viables sont aussi ceux qui ont suggéré l’utilisation du signe négatif combiné avec l’opération d’addition plutôt que l’opération de soustraction, quand les quantités négatives ont été présentes pour représenter des sommes et produits de polynômes correspondant à des assemblages de tuiles. Nous postulons par ailleurs que l’aspect structurel de tuiles d’algèbre a été la source de plusieurs conceptions erronées d’étudiants, qui pourraient aussi être expliquées par les effets du contrat didactique entre l’enseignant et ses étudiants.

Mots clés : tuiles d’algèbre, concept-en-action, modèles, raisonnement multiplicatif, invariant opérationnel, polynômes, cours dialogué.

Abstract

How middle school students understand polynomial sums and products using algebra tiles model in a « cours dialogué »

This study examines 8th-grade students’ understanding and sensemaking of polynomial sums and products modeled with algebra tiles. We base this research within a framework of operational invariants (Vergnaud 1996). Our data consist of videotaped classroom lessons and one teacher interview. On-going analyses of these data were conducted during the teaching sequence. The dataset was analyzed using constant comparison methodology and analytic induction. Our analysis indicates that students’ (mis)interpretation of the tiles in the process of generating polynomial products was an obstacle to their multiplicative thinking. We found that concepts-in-action in the process of representing polynomial sums and products with algebra tiles were available to most students ; however, constructing viable theorems-in-action required connections between algebra tile representations and algebraic expressions. Moreover, students who were successful in generating viable theorems-inaction were the same students who suggested the use of the negative sign combined with the addition operation rather than the subtraction operation, when negative quantities were involved in representing polynomial sums and products via algebra tiles. We also postulate that the structural aspect of algebra tiles has been the source of many student misconceptions, which could be explained by the effects of the didactical contract between the teacher and her students.

Keywords : algebra tiles, concept-in-action, models and modeling, multiplicative reasoning, operational invariant, polynomials, cours dialogué.

Resumen

De que forma, alumnos de secundaria comprenden las sumas y los productos usando el modelo de fichas de algebra en un "curso dialogado"

Este estudio examina, en alumnos, de 13 o 14 años, la comprensión y el significado que adquieren para ellos, la suma y el producto de polinomios modelados con fichas de álgebra. Utilizamos para esta investigación, el marco teórico de los invariantes operacionales (Vergnaud 1996). Nuestros datos consistieron en filmaciones de clases y una entrevista a una profesora. Se efectuó un contínuo análisis de los datos a lo largo de la secuencia de enseñanza. El conjunto de datos fue analizado usando una metodología de comparación constante e inducción analítica. Nuestro análisis indica que las interpretaciones (a veces erróneas) que los estudiantes les atribuían a las fichas, en el proceso de generar productos de polinomios, se constituyó en un obstáculo para su pensamiento multiplicativo. Encontramos que los conceptos en acción en el proceso de representar sumas y productos de polinomios con fichas de álgebra, fueron alcanzados por la mayoría de los estudiantes. Sin embargo, construir teoremas en acción viables, requería conexiones entre las representaciones con las fichas de álgebra y las expresiones algebraicas. Además, los estudiantes que lograron generar teoremas en acción viables, fueron los mismos que sugirieron el uso del signo negativo combinado con la operación de adición en vez de la operación de sustracción, cuando había cantidades negativas en la representación de suma y productos de polinomios con las fichas de álgebra. También concluimos que el aspecto estructural de las fichas de álgebra fue fuente de muchas concepciones erróneas, que pudieron ser explicadas por los efectos del contrato didáctico entre la profesora y sus alumnos.

Palabras claves : fichas de álgebra, concepto en acción, modelando, razonamiento multiplicativo, polinomios, contrato didáctico, curso dialogado.

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- 01. Revue RDM - Volume 33 - Résumés - RDM Vol.33/3

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