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RDM - Recherches en Didactique des Mathématiques

Résumés - RDM Vol. 24/1
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Caroline Lajoie, Roberta Mura

Difficultés liées à l’apprentissage des concepts de sous-groupe normal et de groupe quotient

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Lajoie Vol. 24, n° 1, pp 45-80, 2004


Abstract

In this article, we present a study aimed at describing and interpreting the difficulties involved in learning the concepts of normal subgroup and quotient group in the context of « traditional » undergraduate instruction in abstract algebra. We first carried out an a priori analysis to identify those features of the concepts that were likely to cause problems. This analysis highlighted the intrinsic complexity of the subject matter by showing the large number of notions that come into play in its study and the many links that must be established among them. Then, by empirical methods, we observed the difficulties that actually occurred either during individual interviews or in response to a written questionnaire. All the research participants (N = 9 + 24) had previously completed successfully at least one 45-hour course in abstract algebra. Three main difficulties surfaced : (a) recalling an appropriate definition of a normal subgroup, (b) grasping the nature of the elements and of the operation in a quotient group, and (c) recognizing the role of normality in the construction of a quotient group. We suggest several possible reasons for these difficulties, including the instability of personal definitions, students’ weaknesses in set-theoretical prerequisites, and an obstacle created by the double role played by certain mathematical objects (Duval, 1983). Finally, we point out some implications of our findings for the practice of teaching.

Resumen

Este artículo hace referencia a un estudio cuyo propósito es describir e interpretar las dificultades ligadas al aprendizaje de los conceptos de subgrupo normal y de grupo cociente en un contexto de enseñanza « tradicional » del álgebra abstracta en el primer ciclo universitario. En primer lugar efectuamos un análisis a priori a fin de circunscribir los aspectos de esos conceptos que pueden plantear problemas. Este análisis ha revelado la complejidad intrínseca de la materia, sacando a relucir al mismo tiempo el gran número de nociones que entran en juego en su estudio y las numerosas relaciones que se deben establecer entre ellas. Luego, por métodos empíricos, observamos algunas dificultades que se manifestaron efectivamente, tanto durante unas entrevistas individuales, como en las respuestas a un cuestionario escrito. Todos los sujetos (N = 9 + 24) habían aprobado previamente al menos un curso de cuarenta y cinco horas de álgebra abstracta. Los resultados nos permitieron constatar tres principales dificultades : una, recordar la definición de subgrupo normal ; otra, comprender la naturaleza de los elementos y de la ley de composición de un grupo cociente y, una última, reconocer el aporte de un subgrupo normal en la construcción de un grupo cociente. Proponemos diversos factores explicativos de estas dificultades, entre ellos, la fragilidad de las definiciones personales, el escaso conocimiento de los conceptos previos de la teoría de conjuntos y el obstáculo del desdoblamiento de objetos matemáticos (Duval, 1983). Finalmente, destacamos algunas implicaciones para la práctica de la enseñanza.

Résumé

Cet article porte sur une étude visant à décrire et interpréter les difficultés liées à l’apprentissage des concepts de sous-groupe normal et de groupe quotient dans un contexte d’enseignement « traditionnel » de l’algèbre abstraite au premier cycle universitaire. Nous avons d’abord effectué une analyse a priori en vue de cerner les aspects de ces concepts, susceptibles de poser problème. Cette analyse a mis en évidence la complexité intrinsèque de la matière, en faisant ressortir à la fois le grand nombre de notions qui entrent en jeu dans son étude et les nombreux liens à établir entre ces notions. Puis, par des méthodes empiriques, nous avons observé des difficultés qui se sont effectivement manifestées, soit au cours d’entrevues individuelles, soit en réponse à un questionnaire écrit. Tous les sujets (N = 9 + 24) avaient préalablement réussi au moins un cours de quarante-cinq heures d’algèbre abstraite. Les résultats nous ont permis de mettre au jour trois principales difficultés : une à retrouver la définition d’un sous-groupe normal, une autre à saisir la nature des éléments et de la loi de composition d’un groupe quotient, et une dernière à reconnaître l’apport d’un sous-groupe normal dans la construction d’un groupe quotient. Nous proposons divers facteurs explicatifs de ces difficultés, dont la fragilité des définitions personnelles, la faiblesse des préalables ensemblistes et l’obstacle du dédoublement d’objets mathématiques (Duval, 1983). Enfin, nous dégageons quelques pistes de réflexion pour la pratique de l’enseignement.

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- 01. Revue RDM - Volume 24 - Résumés - RDM Vol. 24/1

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